【Rでベイズ統計学#7】ガウス分布のベイズ推定

投稿者 Dken2021年11月12日2022年1月28日

記事の目的

ガウス分布(正規分布)のパラメータμ,λのベイズ推定をRを使用して実装していきます。事前分布にはガウス分布とガンマ分布を指定して、事後分布を求めていきます。データの作成から実装するので、コピペで再現することが可能です。

目次

ライブラリ
真の分布
事前分布
データ
事後分布

1 ライブラリ

library(ggplot2)
set.seed(1)

2 真の分布

mu <- 170
lambda <- 1/100
x <- seq(100 ,200, 1)
prob <- dnorm(x, mu, 1/sqrt(lambda))

ggplot()+
  geom_line(aes(x=x, y=prob))+
  labs(x="x", y="prob", title="ガウス分布")+
  theme_classic(base_family = "HiraKakuPro-W3") +
  theme(text = element_text(size = 24))

3 事前分布

3.1 ガンマ分布(λ)

a_pre <- 2
b_pre <- 1
x <- seq(0 ,0.1, 0.001)
lambda_prob_pre <- dgamma(x, a_pre, b_pre)
lambda_sample_pre <- rgamma(1, a_pre, b_pre)

plot_lambda <- ggplot()+
  geom_line(aes(x=x, y=lambda_prob_pre))+
  labs(x="λ", y="prob", title="ガンマ分布")+
  theme_classic(base_family = "HiraKakuPro-W3")+
  theme(text = element_text(size = 24))
plot_lambda

3.2 ガウス分布(μ)

mu_pre <- 150
beta_pre <- 0.0001
x <- seq(100 ,200, 1)
mu_prob_pre <- dnorm(x, mu_pre, 1/sqrt(beta_pre*lambda_sample_pre))

plot_mu <- ggplot()+
  geom_line(aes(x=x, y=mu_prob_pre))+
  labs(x="μ", y="prob", title="正規分布(事前)")+
  theme_classic(base_family = "HiraKakuPro-W3") +
  theme(text = element_text(size = 24))
plot_mu

4 データ

data <- rnorm(30, mu, 1/sqrt(lambda))
N <- length(data)

5 事後分布

5.1 パラメータ更新

beta_pos <- N + beta_pre
mu_pos <- (sum(data)+beta_pre*mu_pre)/beta_pos
a_pos <- N/2 + a_pre
b_pos <- (sum(data^2)+beta_pre*mu_pre^2-beta_pos*mu_pos^2)/2 + b_pre
lambda_sample_pos <- rgamma(1, a_pos, b_pos)

5.2 ガンマ分布(λ)

x <- seq(0 ,0.1, 0.001)
lambda_prob_pos <- dgamma(x, a_pos, b_pos)

plot_lambda + geom_line(aes(x=x, y=lambda_prob_pos), col="blue")

5.3 ガウス分布(μ)

x <- seq(100 ,200, 1)
mu_prob_pos <- dnorm(x, mu_pos, 1/sqrt(beta_pos*lambda_sample_pos))

plot_mu + geom_line(aes(x=x, y=mu_prob_pos), col="blue")